Векториальный анализ

Векториальный анализ, исчисление, имеющее своим объектом векторы в том же смысле, в каком обыкновенный математический анализ оперирует над числами.

В механике и в физике мы встречаемся с величинами двоякого рода. Величина первого рода вполне определена, если она задана числом, выражающим ее в соответствующих единицах; таковы длина, площадь, объем, масса, плотность, температура, теплоемкость и т. д.; эти величины называются скалярами. Величины второго рода известным образом ориентированы в пространстве и потому одним численным заданием не определяются; таковы скорость, ускорение, сила, моменты вращения; эти величины называются векторами. Чтобы определить силу, недостаточно указать ее численную величину, нужно еще определить ее направление. Сообразно этому силу изображают отрезком, длина которого выражает величину силы, а направление указывает направление действия силы. Таким образом, и всякий вектор изображается отрезком, имеющим определенную величину и направление; для геометра этот отрезок и есть вектор.

Всякий отрезок (а, следовательно, и вектор) определяется проекциями на три оси; поэтому и вектор может быть задан численно, но не одним числом, а тремя числами, выражающими его проекции на три оси.

При всяком изучении векториальных величин приходится определенным образом комбинировать векторы, переходить от одних векторов к другим, по некоторым данным векторам строить новые результирующие векторы: по слагающим силам приходится определять равнодействующую, по данным силам и осям приходится определять моменты этих сил и т. п. Все эти операции можно сводить к арифметике и к анализу, в том смысле, что проекции искомого вектора могут быть вычислены арифметически по данным проекциям исходных векторов. Так, если X, Y, Z суть численно заданные проекции одной силы, X′, Y′, Z′ - проекции другой силы, то X + X′, Y + Y′, Z + Z′ суть проекции равнодействующей. При более серьезных вычислениях этот путь осложняется в большой мере тем, что в каждом случае приходится делать три вычисления - разыскивать численно три проекции. Даже равенство двух векторов выражается не одним, а тремя уравнениями, устанавливающ. в отдельности равенство соответственных проекций; например, чтобы выразить, что приведенные выше две силы равны, нужно написать X = X′, Y = Y′, Z = Z′. В целях упрощения этого процесса мы приходим к мысли производить операции непосредственно над векторами, подобно тому, как мы в арифметике производим действия над числами. Осуществление этой идеи и приводит к алгебре векторов, а дальнейшее ее развитие - к векториальному анализу.

Два вектора считаются равными, если имеют одинаковую величину и направление; иначе говоря, если отрезки имеют одинаковую длину, параллельны и обращены в одну и ту же сторону (отрезки АА′ (а) и ВВ′ (b) на (рис. 1); они могут, следовательно, отличаться один от другого только начальной точкой. Алгебра векторов устанавливает понятия о сумме, разности, произведении и частном двух векторов, подобно тому, как в арифметике устанавливаются те же понятия в применении к числам. Положим, что нам дано несколько векторов, скажем, а, b, с (рис. 2). От произвольной точки А, как начальной, строим вектор, равный данному вектору а; из конечной точки А′ проводим вектор А′В′, равный второму данному вектору b, из конечной точки В′ проводим вектор В′С, равный третьему вектору с. Вектор AC′ (s), идущий от начальной точки А к конечной - С′, называется суммой векторов а, b, с и обозначается, как и в арифметике, символом s = a + b + c. Эту сумму векторов часто называют геометрической суммой, чтобы оттенить ее отличие от арифметической суммы чисел. Точно также, чтобы отметить, что символы а, b, с, s означают не числа, а векторы, их обыкнов. отмечают черточками сверху или жирн. шрифт. Равнодействующая неск. сил выражается геометрической суммой векторов, изображающих слагающие силы.

Рис. 1

Рис. 2

Разность двух векторов ā и b̄ определяется как такой вектор c̄, который нужно прибавить к вектору b̄ чтобы получить вектор ā; т. е. c̄ = ā - b̄, если ā = b̄ + c̄. Легко видеть, что на рисунке 2

Основные свойства арифметической суммы, из которых разматываются все свойства суммы и разности, заключаются в так называемых переместительном и сочетательном законах, которые выражаются тождествами:

Эти соотношения остаются в силе, как в этом легко убедиться, и в применении к геометрической сумме векторов. Так, на рисунке 2 мы видим, что

так что

так что

а потому

Вследствие того, что эти основные законы остаются в силе, выражение, представляющее результат геометрического сложения и вычитания векторов, может быть подвергнуто всем тем преобразованиям, какие допустимы в так называемой алгебраической сумме. В пределах сложения и вычитания арифметика векторов формально совпадает с арифметикой чисел. Но дело обстоит сложнее при умножении. Под произведением из вектора а на положительное число α разумеют вектор (α . ā), который имеет то же направление, что и вектор ā, но длина которого увеличена в а раз. Под произведением из вектора ā на отрицательное число α разумеют вектор α . ā, повернутый на 180°, т. е. взятый в противоположном направлении. Эти произведения из векторов на числа все еще подчиняются тем же формальным законам, что и арифметические произведения. Но дальнейшее развитие тех же идей приводит нас к перемножению векторов. Установить понятие о произведении двух векторов так, чтобы такого рода произведения сохранили все основные свойства произведения чисел, не удалось. Напротив, установлены двоякого рода произведения векторов - скалярное и векториальное. Каждое из этих произведений сохраняет одни свойства арифметического произведения и теряет другие.

Пусть ā и b̄ будут два вектора, α и β - числа, выражающие их длины в одной и той же линейной единице, ω - угол между направлениями векторов. Под скалярным произведением векторов ā и b̄, которое мы будем здесь отмечать символом ā×b̄, разумеют число αβCosω).

Из этого определения непосредственно ясно, что скалярное произведение обладает свойством переместительности, т. е. что ā×b̄ = b̄×ā; немного более внимательное размышление обнаруживает, что скалярное произведение обладает также распределительностью, т. е. что (ā + b̄)×c̄ = ā×c̄ + b̄×c̄. Но закон сочетательности здесь уже не приложим, т. е. соотношение (ā×b̄)×c̄ = ā×(b̄×c̄) не имеет места. Чтобы видеть, в какой мере скалярное произведение векторов отличается от арифметического, достаточно заметить, что оно обращается в нуль всякий раз, как перемножаемые векторы взаимно перпендикулярны; между тем арифметическое произведение никогда не обращается в нуль, если ни один из множителей не равен нулю.

Если материальная точка движется по прямой линии и пробегает вектор b̄, а в числе действующих на точку сил какая-либо остается постоянной и выражается вектором ā, то работа этой силы на указанном пути выражается скалярным произведением ā×b̄. Эта сила не производит работы на этом пути, если она остается перпендикулярной к траектории; скалярное произведение равно нулю.

Под векториальным произведением ā. b вектора а на вектор b разумеют вектор, определенным образом составленный по данным векторам ā и b̄. Именно, длина этого вектора выражается числом αβ sin ω; направлен же он перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами ā и b̄, и притом так, что наблюдатель, стоящий вдоль вектора а и смотрящий на вектор b, видит произведение с направленным слева направо (рис. 3). Из этого определен. видно, что вект. с имеет одинак. длину, выражает ли он произведение ā. b̄ или b̄ . ā; но согласно указанной ориентировке он будет во втором случае направлен не в ту сторону, как в первом, а в противоположную; иными словами, ā.b̄ = - b̄.ā. Векториальное произведение таким образом не обладает переместительностью; но свойство сочетательности и здесь остается в силе, т. е. (ā + b̄).c̄ = ā.c̄ + b̄.c̄.

Рис. 3

Но указанное отступление уже коренным обр. отражается на дальнейшем развитии операций над векторами.

Как бы на смену нарушенных тождеств обыкновенной арифметики здесь появляются новые своеобразные соотношения, например, замечательное тождество Якоби

Эти новые свойства, сплетаясь с сохранившимися обычными свойствами суммы, разности, произведения, частного, и составляют своеобразную арифметику или, как принято не совсем правильно говорить, - алгебру векторов. Но отсюда только один шаг к анализу.

Как мы различаем постоянные и переменные величины, выраженные численно, так можно различать также постоянные и переменные векторы. Представим себе постоянную точку О (начало) и движущуюся - А; тогда каждому положению точки А будет соответствовать определенный вектор OA - ее радиус-вектор; этот вектор будет, очевидно, меняться с положением точки А, это переменный вектор. Если точка А описывает кривую, и s есть скаляр - число, выражающее длину кривой от некоторой постоянной точки АO, то при движении точки А изменяется s, и каждому значению s отвечает определенный радиус-вектор OA (r̄) (рис. 4). Вектор r̄ является функцией скаляра s; r̄ = f(s). Вообще, относя каждому значению некоторого скалярного переменного s вектор r, мы приходим к функциональной зависимости между вектором и скаляром. Изучение этой зависимости составляет предмет векториального анал. подобно тому, как обыкновенный анализ изучает численно заданные функции. Если вектор r есть функция скаляра s, то три его проекции - вернее, числа х, у, z, выражающие длины этих проекций - также суть функции от s и векториальная зависимость r̄ = f(s) эквивалентна трем числовым зависимостям x = g (s), y = h (s), z = k (s).

Рис. 4

В этом замещении трех функций одной векториальной функцией и заключается сила векториального анализа.

Положим, что мы дадим независимой переменной в рассмотренной выше зависимости r̄ = f(s) (рис. 4) сначала значение s, а потом наращенное значение s + h; этим значениям будут отвечать векторы OA = f(s) и ОA′=f(s+h). Вектор АА′=OА′-OA представляет собой геометрическое наращение, которое получает переменный вектор, когда независимая переменная получает наращение h, т. е. AA′=f(s+h)-f(s). Если мы разделим это наращение на h, то получим вектор, который при положительном h направлен в ту же сторону, что АА′, при отрицательном - в противоположную. Когда h стремится к нулю, то отношение

может стремиться к определенному предельному вектору; этот предельный вектор (буде он существует) называется геометрической производной вектора r̄. Если A есть движущаяся точка, то геометрическая производная ее радиуса-вектора представляет собой скорость движения, геометрическая производная скорости есть ускорение.

Геометрические производные сохраняют многие свойства обыкновенной производной (см. высшая математика и дифференциальное исчисление); например, в силе остаются правила составления производной суммы и векториального произведения. Что наиболее замечательно, при надлежащих условиях остается в силе формула Тайлора. Другие свойства обыкновенных производных в векториальном анализе изменяются - и таким образом получается своеобразное дифференциальное исчисление векторов, из которого в том же порядке идей получается интегральное исчисление. Обе дисциплины отличаются необычайным изяществом и чрезвычайно богаты приложениями к геометрии, механике и теоретической физике.

Как мы видели на рисунке 4, радиусом-вектором r вполне определяется положение точки А (при данном начале O), и соотношение r̄=f(s) можно рассматривать, как векториальное уравнение кривой. Эта замена трех уравнений аналитической геометрии одним векториальным и послужило точкой отправления векториального исчисления.

Если не считать Весселя (Wessel) и Аргана (Argand), у которых эти идеи выражены еще недостаточно определенно, то отцом векториального анализа нужно признать Мёбиуса (Mobius); в сочинении "Der baryzentrische Calcul" (1827) он устанавливает действия не над векторами, а над точками; но эти операции совпадают с преобразованиями, которым в векториальной алгебре подвергаются конечные точки векторов при действиях над ними. В сочинениях Беллавитиса (Bellavitis), особенно в его книгах "Metodo delle equipollenze" (1835) и "Sposizione del metodo delle equipollenze" (1855), установлены уже прямые действия над векторами и даны многочисленные применения к геометрии. Когда Коши, следуя Аргану, показал, что операции над векторами представляют собой геометрическую интерпретацию действий над комплексными числами, то это составило эпоху, ибо послужило наиболее сильным импульсом к всеобщему признанию комплексных величин. Однако, комплексные числа изображаются только векторами, расположенными в одной плоскости; но вскоре Гамильтон (Hamilton, "On Quaternions" 1843-1844; "Lectures on Quaternions" 1852) и Грассманн (H. Grassmann, "Die Ausdehnungslehre" - сочинен., написанное в 1844 г. и совершенно переработанное в 1866 г.) указали новые, высшие комплексные числа - кватернионы (см.). Каждый кватернион состоит из скалярной и векториальной части; геометрическим изображением последней служит вектор в трехмерном пространстве. Все развитие векториального анализа находится в теснейшей связи с учением о кватернионах. Однако, учение это довольно долго не встречало сочувствия среди математиков. Только, когда Дж. Максуэль (J. Maxwell, "А treatise on Electricity and Magnetism", 1873) воспользовался ими для выражения своих замечательных идей в области электродинамики, то кватернионы, а вместе с ними и векториальный анализ, получили значительное распространение, которое быстро росло по мере того, как идеи Максуэля получали преобладание. В новых трактатах по теоретической физике изложение ведется почти исключительно методами векториального анализа. Нужно, однако, сказать, что эти методы имеют и своих решительных противников.

Bucherer, "Elemente der Vektoranalysis", Leipzig, 1905; Gans, "Einfuhrung in die Vektoranalysis", Leipzig, 1905; Ignatowsky, "Die Vektoranalysis", Leipzig, 1909-1910; П. О. Сомов, "Векториальный анализ и его приложения", Спб. 1907 г.

В. Каган.

Источники:

1. Энциклопедический словарь Русского библиографического института Гранат. Том 8/Изд. 7.- Москва: Т-ва 'Бр. А. и И. Гранатъ и Ко' - 1911.