Основные идеи геометрии

Основные идеи геометрии.

I. Содержание элементарной Г.

Классическая Г. сложилась еще в древности, и дальнейшее ее развитие заключалось, главным образом, в дополнениях второстепенного значения и в разработке связывающих материал логических концепций. Что касается самого материала, то содержание обычного курса элементарной Г. в средней школе мы предполагаем здесь известным. Мы здесь сделаем лишь сводку, которая дает возможность обозреть основные идеи и категории в связной концепции, а затем ознакомим читателя с основными задачами и идеями тех отделов, которые выходят из рамок строго элементарной Г.

1. В первую очередь, через всю Г. проходит классификация геометрических образов и выделение тех из них, которые, по своему значению в теории и приложениях, подлежат особому изучению. Первое подразделение заключается в классификации образов по числу измерений: они делятся на образы, не имеющие измерения (точки), образы одного измерения (линии), двух измерений (поверхности), трех измерений (тела). Однако, точное определение того, что, собственно, такое эти измерения, представляет большие затруднения. В аналитической и, во всяком случае, в метрической Г. (см. ниже) это нужно понимать так, что на образе одного измерения положение точки определяется одним данным (ее расстоянием от некоторой определенной точки), на двумерном образе - двумя данными (например, на плоскости ее расстояниями от двух неподвижных прямых), на трехмерном - тремя данными. Но, с одной стороны, чисто геометрического признака, свободного от всяких измерительных приемов, мы для этой цели не имеем; с другой стороны, в настоящее время придуманы, хотя и весьма искусственные, но все же вполне действительные способы определять положение точки на двумерном или трехмерном образе (например, на плоскости или в пространстве) одним заданием.

Из одномерных образов важнейшее значение имеет прямая. Определение прямой линии также представляет большие трудности, и большинство авторов относит это понятие к числу основных. С его помощью строится уже понятие об основном двумерном образе - плоскости. Вместе с тем все одномерные образы делятся на прямолинейные и криволинейные, все двумерные - на плоские и кривые. Учение об одномерных образах называли прежде лонгиметрией; нужно, однако, сказать, что классическая Г. таковой почти не знала, так как ни одна линия не изучалась независимо от поверхности, на которой она расположена. Учение о плоскости и образах, в ней расположенных, составляет планиметрию, учение об образах трехмерных - стереометрию. Важнейшие из планиметрических образов, помимо прямых, это углы и так называемые плоские фигуры, т. е. части плоскости, ограниченные со всех сторон линиями. В первую очередь, изучаются прямолинейные фигуры, т. е. фигуры, ограниченные прямыми линиями, и прежде всего простейшие из них - треугольники и четырехугольники. Из кривых линий преобладающее значение имеет окружность. "Начала" Евклида не рассматривают вовсе никаких других кривых линий; но классическая Г., как мы видели (XIII, 327), знала еще конические сечения и некоторые кривые другого вида, о которых скажем ниже.

Из образов трехмерных классическая Г. рассматривает двугранные и многогранные углы и так называемые геометрические тела, т. е. части пространства, ограниченные поверхностями со всех сторон. Важнейшие тела, которые изучает элементарная Г., это многогранники, т. е. тела, ограниченные плоскостями, и тела вращения, получающиеся путем вращения плоской фигуры вокруг неподвижной прямой (шар, цилиндр, конус). Такова в важнейших чертах общая классификация геометрических образов, принятая в классической и ныне в элементарной Г.

2. Расположение точек на геометрическом образе. На каждом образе, в первую очередь, устанавливаются действующие в нем нормы расположения точек. Относящийся сюда геометрический материал заключается в теоретическом обосновании понятий "между", "с одной стороны" и "с другой стороны", "внутри" и "вне". Древняя Г. оперировала всеми этими понятиями чисто интуитивно: но в настоящее время они устанавливаются и развиваются строго логически. Чтобы выяснить, в чем заключается содержание относящихся сюда рассуждений, остановимся на двух примерах. Во-первых, разберем деление плоскости прямою линией. Задача заключается здесь в том, чтобы установить следующее: если на плоскости дана прямая, то все остальные точки этой плоскости могут быть одним и только одним способом распределены в две категории таким образом, что прямолинейный отрезок, соединяющий две точки одной и той же категории, не встречает делящей прямой; всякий же отрезок, соединяющий две точки различных категорий, встречает эту прямую; эти две категории точек и составляют две стороны плоскости относительно прямой. Другой пример, деление плоскости замкнутой ломаной линией, заключается в следующем: все точки плоскости, этой ломаной не принадлежащие, распадаются на две категории; прямолинейные лучи, выходящие из точек первой категории и не проходящие через вершины ломаной, пересекают эту ломаную нечетное число раз; лучи, выходящие из точек второй категории, пересекают ломаную четное число раз; точки первой категории называются внутренними, точки второй категории - внешними; всякие две внутренние точки или две внешние могут быть соединены ломаной линией, не встречающей периферии; внутренняя же точка с внешней такой ломаной не может быть соединена.

Развитие учения о расположении точек геометрического образа заключается в установлении частных критериев, дающих возможность в отдельных случаях установить непосредственно, лежат ли те или иные точки внутри образа, на его периферии или вне его. Так, например, если мы соединим две точки, лежащие на разных сторонах угла, то все внутренние точки соединяющего отрезка лежат внутри угла; все же точки, лежащие на продолжениях этого отрезка, лежат вне угла. Если мы соединим две внутренние точки выпуклого многоугольника, то соединяющий их отрезок лежит целиком внутри многоугольника. Такого рода предложения совершенно необходимы, когда мы желаем действительно установить, где лежит та или иная точка; например, в каком случае центр описанной около многоугольника окружности лежит внутри многоугольника, на его периферии или вне его. Совокупность всех этого рода предложений составляет учение о расположении.

3. Учение об инцидентности. Сюда относится все то, что касается общих точек геометрических образов: условия, при которых точка лежит на данном образе, условия пересечения данных образов (прямых, прямых с кривыми, прямых с плоскостями и др. поверхностями и т. п.), определение числа общих точек и их расположения, условия касания линий и поверхностей, условия схождения нескольких линий в одной точке и нескольких поверхностей по одной линии. Существует обширная дисциплина, которая занимается только вопросами инцидентности; это - Analysis situs. Приведем примеры предложений элементарной Г., относящиеся к учению об инцидентности: прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в ней целиком; две плоскости либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют общую прямую; из каждой точки, лежащей в плоскости круга вне его, можно провести две касательные к окружности круга, и т. д.

4. Учение о геометрическом соответствии заключается в том, что каждой точке одного образа относят некоторую точку другого образа в качестве соответствующей ей. Выбор точки, соответствующей данной, можно осуществлять, конечно, многообразно; этим определяется характер соответствия. Элементарная Г. изучает, главным образом, двоякого рода соответствие: конгруэнтность и подобие. Конгруэнтность представляет собой такого рода соответствие двух образов, при котором они могут быть посредством движения приведены в совмещение таким образом, чтобы соответствующие точки совпали; в конгруэнтных образах расстояние двух точек всегда равно расстоянию соответствующих точек другого образа. Под подобием разумеют такое соответствие двух образов, при котором расстояние любых двух точек первого образа пропорционально расстоянию соответственных точек второго; иначе говоря, если А и В суть две точки одного образа, А′ и В′ соответствующие точки другого, то при подобии отношение АВ:А′В′ есть величина постоянная, т. е. не зависит от выбора точек А и В. Учение о конгруэнтности и подобии образов в элементарной Г заключается в установлении условий, при которых образы конгруэнтны или подобны, в разыскании соответствующих точек двух таких образов и в установлении между образами соотношений, проистекающих из их конгруэнтности или подобия. Конгруэнтность и подобие принадлежат, однако, к числу так называемых метрических соответствий, т. е таких, которые устанавливаются помощью понятий о равенстве и неравенстве, о численном значении отношения - вообще помощью понятия о величине. Существуют, однако, соответствия, которые устанавливаются чисто геометрическими методами, чуждыми всякой идее о величине. Приведем простой пример. Положим, что нам даны две плоскости Р и Р′ и некоторая точка О вне их. Пусть А будет произвольная точка первой плоскости; соединяя ее с точкой О, получаем прямую OA, которая пересекает вторую плоскость в некоторой точке А′; эту последнюю принимаем за соответствующую точке А первой плоскости. Таким путем каждой точке первой плоскости мы относим в качестве соответствующей ей некоторую точку второй плоскости; но это соответствие устанавливается чисто геометрически, без помощи понятия о величине, о равенстве и неравенстве; это соответствие неметрического характера. Метод, которым устанавливается это соответствие, называется центральной проекцией или, правильнее, проектированием из центра О, а самое соответствие двух плоскостей называется перспективным (см. отдел VIII).

Весь тот геометрический материал, который относится только к учению о расположении, об инцидентности, и о соответствии неметрического характера, составляет Г. положения в противоположность метрической Г.

5. Метрика играла в античной Г. второстепенную роль, но в современной элементарной Г. она имеет преобладающее значение. Под метрикой разумеют учение о геометрических образах с точки зрения их величины. Задача метрической Г. заключается, во-первых, в том, чтобы установить для каждой геометрической величины критерии сравнения, т. е. установить, при каких условиях мы считаем одно из двух значений величины равным другому, больше или меньше его, - а во-вторых, в измерены величины. Измерить величину значит выразить каждое значение этой величины числом, т. е. каждому значению величины отнести число; это должно быть сделано таким образом, чтобы конгруэнтным значениям ее были отнесены одинаковые числа, а значению, составленному из нескольких других ее значений, отвечало число, равное сумме чисел, отнесенных составляющим образам. Так, например, установить измерение площадей, значит выразить всякую площадь числом, т. е. каждой площади отнести число следующим образом: 1) конгруэнтным площадям должны быть отнесены одинаковые числа; 2) число, отнесенное площади, которая составлена из нескольких площадей, должно быть равно сумме чисел, отнесенных составляющим площадям. Чтобы этого достигнуть, оказывается необходимым и достаточным каждому значению величины отнести число, равное отношению этого значения к некоторому определенному условно выбранному значению той же величины (к единице меры). Вследствие этого, главная задача метрики в Г. заключается в следующем: a) в установлении критериев сравнения значений одной и той же величины; b) в определении отношения одного значения величины к любому другому значению той же величины; c) в выражении отношения более сложных величин через отношения более простых величин. Последний пункт играет особенно важную роль: некоторые авторы всю задачу метрики усматривают в том, чтобы заменить отношения площадей и объемов отношениями длин или комбинациями этих отношений. Чтобы найти, например, отношение площади треугольника к площади квадрата, достаточно найти отношения основания и высоты треугольника к стороне квадрата и взять половину произведения полученных таким образом чисел.

Классификация геометрических образов, учения о расположении, об инциденции, о соответствии и метрика - таковы категории, в которые укладывается все содержание элементарной Г. Содержание материала, входящего в состав этих категорий, мы считаем известным читателю настоящей статьи.

II. Конические сечения.

Кроме того материала, который в настоящее время "оставляет так называемую элементарную Г., в составе классической Г. входит учение о конических сечениях, составлявшее у древних венец и высшее достояние Г. Как греки пришли к этим замечательным кривым, мы в точности до сих пор не знаем. Прокл приписывает открытие их, как мы уже упомянули выше, Менэхму, ученику Платона, который пришел к ним при своих попытках решить знаменитую задачу об удвоении куба. Разыскание геометрических мест на плоскости, т. е. тех линий, на которых лежат точки, обладающие определенными свойствами, составляло одну из наиболее излюбленных задач греческих геометров. Такого рода задачи иногда ставились сами по себе, иногда возникали попутно, при решении задач на построение. В большинстве случаев геометрические места, которые разыскивали древние, сводились к прямой и к окружности; но более серьёзные задания приводили к более сложным кривым: из этих более сложных кривых самыми замечательными и в то же время наиболее простыми оказались конические сечения. Почему изучение этих кривых является естественным и прямым развитием материала элементарной Г., мы увидим ниже в отделе IV; здесь же мы заметим только, что каждый из последующих отделов как бы роковым образом с различных точек зрения приводит к этим замечательным трем кривым.

Итак, греки открыли конические сечения, как определенного рода геометрические места, независимо от конуса. Молодому современнику Менэхма-Аристею - приписывается открытие связи между этими геометрическими местами и конусом, т. е. определение этих кривых, как конических сечений. Основная идея здесь заключается в том, что при пересечении конических поверхностей плоскостью получаются кривые трех различных типов. Самые секущие плоскости геометры до Аполлония проводили всегда перпендикулярно к образующей конуса. Если конус остроугольный, т. е. имеет при вершине острый угол, то в сечении с плоскостью (как мы сказали, перпендикулярной к образующей) получается замкнутая кривая - эллипс (фиг. 1). Если конус тупоугольный, то сечение представляет собою разомкнутую фигуру (фиг. 2), ветви которой уходят в бесконечность; это - гипербола. Наконец, в прямоугольном конусе (т. е. с прямым углом при вершине) секущая плоскость, перпендикулярная к одной образующей, всегда оказывается параллельной некоторой другой образующей; сечение и в этом случае оказывается разомкнутой кривой, которая загибается, однако, гораздо медленнее, нежели гипербола (фиг. 3); эта кривая называется параболой.

Фиг. 1

Фиг. 2

Фиг. 3

Однако, как мы сказали, греки не этим путем пришли к открытию конических сечений; они нашли их другим путем, как плоские геометрические места. До Аполлония наиболее обычный путь, которым определялись эти три кривые, заключался в следующем. Если мы возьмем окружность с диаметром АA′ (фиг. 4) и из произвольной точки С на диаметре восставим перпендикулярную к нему полухорду CD′, то последняя, как известно, представляет собой среднюю пропорциональную между отрезками диаметра, т. е. CD′²=АС. А′C; выражаясь языком древних, это значит, что квадрат, построенный на CD′ всегда равновелик прямоугольнику, построенному на отрезках AC и A′C. Можно поэтому сказать, что при данных точках A и A′ геометрическое место точек D′, для которых квадрат, построенный на CD, будет равновелик прямоугольнику AC×A′C, есть окружность.

Фиг. 4

Если же мы теперь поставим себе задачей разыскать геометрическое место точек D, для которых квадрат, построенный на CD, будет не равен прямоугольнику АС×А′С, а будет составлять некоторую его часть, скажем n-ую, так что

(1),

то каждая точка D ляжет ближе к диаметру АА′, нежели D′, а геометрическое место точек D образует некоторую овальную кривую - эллипс. Центр окружности O называется также центром эллипса; диаметр АА′ называется большою осью эллипса (ее длину мы будем, согласно установившемуся обычаю, обозначать через 2а); перпендикулярный диаметр ВВ′ (2b) называется малой осью эллипса. Применяя соотношение (1) к отрезку ОВ′, будем иметь:

Для упрощения последнего соотношения положим n=m², так что соотношение (1) примет вид

(2)

тогда b=a:m.

Если бы мы искали геометрическое место точек D таким образом, чтобы площадь квадрата CD² также сохраняла постоянное отношение к площади прямоугольника АС. А′С, но была бы больше этой последней, то мы также получили бы эллипс, только в нем диаметр АА′ был бы малой осью; соотношение (2) оставалось бы в силе, но число m было бы правильной дробью.

Положим теперь, что нам дан тог же отрезок АА′ (фиг. 5); взяв точку С не между А и А′, а на продолжении отрезка АА′, будем вновь искать геометрическое место точек D так. обр., чтобы площадь квадрата CD² составляла m²-ую часть площади прямоугольника АC. А′С, т. е., чтобы по-прежнему оставалось в силе соотношение (2). Теперь с удалением точки С расстояние CD будет постоянно возрастать, геометрическое место точек D составит разомкнутую линию - гиперболу; эта кривая состоит из двух симметричных веток, так как точку С мы можем брать по одну или по другую сторону отрезка. Здесь диаметр АА′(2а) называется действительною осью гиперболы, потому что он действительно пересекает кривую в двух точках А и А′. Перпендикулярная же к нему прямая ВВ′ кривой не пересекает; ее называют поэтому мнимою осью, и последней приписывают даже длину 2b, где, как и в случае эллипса, b=a:m.

Фиг. 5

Эти древнейшие определения эллипса и гиперболы "по постоянному отношению площадей" аналогичны для обеих кривых. Для параболы полнота аналогии несколько нарушается. Здесь задача ставится так: на некоторой прямой АС (оси) (фиг. 6) будем выбирать произвольно точку С, а начальную точку А фиксируем; на перпендикуляре CD выберем точку D таким образом, чтобы квадрат, построенный на CD, был равновелик прямоугольнику, построенному на АС и на постоянном отрезке AR, т. е. чтобы

(3)

геометрическое место точек D представляет собой разомкнутую кривую - параболу. Этими определениями конических сечений пользуется, между прочим, Архимед, и их поэтому часто называют Архимедовыми определениями конических сечений. Доказать, что определяемые этими свойствами геометрические места совпадают с сечениями конуса, было трудной задачей, разрешение которой представляет один из перлов античной геометрии; вокруг этой задачи и сосредоточивалась теория, конических сечений древних. Евклид первый написал целый трактат о конических сечениях. Но подобно тому, как все руководства по элементарной геометрии стушевались и были забыты после появления "Начал" Евклида, так его собственное сочинение о конических сечениях потеряло значение после появления замечательного трактата Аполлония "О конических сечениях". Этот трактат имеет по отношению к этому высшему отделу классической геометрии то же значение, какое "Начала" Евклида имеют по отношению к элементарной геометрии.

Фиг. 6

Аполлоний начинает с нового определения конических сечений, действительно объединяющего все три кривые в одной общей идее: чтобы ее отчетливо выяснить, возвратимся к фиг. 6 и введем следующую простую терминологию. Исходную прямую АС будем называть осью. Из произвольной точки С этой оси был восстановлен перпендикуляр CD; квадрат, построенный на CD мы будем называть первым квадратом: квадрат, построенный на АС, вторым квадратом. Прямоугольник, построенный на АС и постоянном отрезке AR, мы будем называть вспомогательным прямоугольником. Тогда приведенное выше определение параболы сводится к следующему: парабола представляет собою геометрическое место точек D, выбранных таким образом, что площадь первого квадрата равна площади вспомогательного прямоугольника. Исходя из этой идеи, Аполлоний ищет геометрическое место точек D таким образом, чтобы площадь первого квадрата превышала площадь вспомогательного прямоугольника и при том на величину, пропорциональную площади второго квадрата; полученная таким образом кривая есть гипербола. Если же площадь первого квадрата меньше площади вспомогательного прямоугольника на величину, также пропорциональную второму квадрату, то соответствующая кривая будет эллипс. Это различие и выражается по-гречески самыми названиями кривых, также принадлежащими Аполлонию. Пользуясь современными обозначениями, мы можем сказать, что все конические сечения определяются условием:

(4)

При положительном значении h кривая представляет собою гиперболу, при отрицательном - эллипс, а при h=0 - параболу. Задача Аполлония заключалась прежде всего в том, чтобы обнаружить тождество этих кривых с теми, которые соответствуют Архимедовым определениям, и с плоскими сечениями, конических сечений. Но здесь Аполлоний идет дальше - он показывает, что нет необходимости брать остроугольный, тупоугольный и прямоугольный конусы для получения трех кривых. Для этого достаточно только надлежащим образом выбирать наклон секущей плоскости к образующей конуса. Мы выясним это несколько иначе, чем это сделано у Аполлония, если представим себе (фиг. 7) круглый конус о двух полах, т. е. неограниченно продолженный в обе стороны. Если мы такую коническую поверхность рассечем плоскостью, встречающей только одну полу и непараллельной ни одной образующей, то мы получим в сечении замкнутую кривую - эллипс; этот эллипс обращается в круг, когда сечение перпендикулярно к оси. Когда плоскость становится параллельной одной из образующих, кривая размыкается, и мы получаем параболу. Наконец, когда плоскость наклонена к оси настолько, что она встречает уже обе полы, мы получаем две разомкнутые ветви, составляющие в совокупности гиперболу.

Фиг. 7

Если мы из вершины малой оси эллипса ВВ′ (фиг. 8) опишем окружность радиусом, равным большой полуоси, то эта окружность пересечет ось АА′ в двух точках F и F′, которые Кеплер позднее назвал фокусами (у Аполлония они носят громоздкое название). Из построения этих точек следует, что

Фиг. 8

Это свойство принадлежит, однако, всякой точке эллипса; именно, для всякой точки С эллипса сумма ее расстояний от фокусов (FС+F′С) равняется большой оси (2а). Мало того, этим свойством эллипс вполне определяется: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух неподвижных точек (фокусов) имеет постоянную величину. Такие же две точки есть в гиперболе; они расположены с внутренней стороны каждой ветки (фиг. 9) и обладают аналогичным свойством: разность расстояний каждой точки кривой от фокусов представляет собой постоянную величину, равную длине действительной оси гиперболы:

и здесь это свойство в таком же смысле может служить для определения кривой: гипербола представляет собой геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух неподвижных точек есть величина постоянная. Французский математик Кетле (Quetelet, XIX ст.) показал, в какой связи стоят эти точки с сечениями конуса. Если мы впишем в коническую поверхность шар таким образом, чтобы он касался также секущей плоскости, то точкой касания будет служить фокус (фиг. 10). Если плоскость не параллельна образующей, то таких шаров будет два - им соответствуют два фокуса. Когда же плоскость параллельна образующей, то есть только один такой шар, - парабола имеет только один фокус.

Фиг. 9

Фиг. 10

Однако, приведенные выше фокальные свойства эллипса и гиперболы не распространяются на параболу. Но греческий геометр Папп, живший в III веке после P. X., указал другое замечательное свойство фокусов, легко распространяющееся также и на параболу. Именно, он показал, что каждому фокусу отвечает некоторая прямая, которую гораздо позже французский математик Делагир (De la Hire, XVII ст.) назвал направляющей, или директрисой этого фокуса. Все конические сечения обладают тем свойством, что отношение расстояний каждой точки кривой от фокуса и от директрисы есть величина постоянная.

Расположение директрис относительно фокусов видно на рис. 6, 8 и 9, где они отмечены через GH и G′H′. На всех кривых оказывается постоянным отношение EF:EG; но в случае гиперболы это отношение оказывается больше 1, в случае параболы оно равно 1, в случае эллипса оно меньше 1. Вместе с тем мы получаем следующее общее определение конического сечения: коническое сечение есть геометрическое место точек, для каждой из которых отношение ее расстояний от некоторой неподвижной точки (фокуса) и от неподвижной прямой (директрисы) есть величина постоянная. В эллипсе и гиперболе это отношение равно также отношению расстояния между фокусами к большой оси; это число Кеплер назвал эксцентриситетом конического сечения; таким образом, в эллипсе эксцентриситет представляет собою правильную, в гиперболе - неправильную дробь; когда эксцентриситет эллипса уменьшается, кривая становится все более похожей на окружность; в окружности фокусы совпадают, эксцентриситет обращается в нуль. Напротив, если в гиперболе эксцентриситет начинает возрастать, то ветки гиперболы становятся все менее и менее искривленными и приближаются друг к другу. Это соответствует тому, что секущая плоскость, оставаясь параллельной самой себе, приближается к вершине конуса; в момент, когда плоскость переходит через вершину, обе ветки соединяются, и гипербола вырождается в две прямые - две образующие конуса.

Фокусы конического сечения в приложениях математики играют важную роль в следующем отношении. Если мы соединим любую точку С кривой с ее фокусами (фиг. 8 и 9), то нормаль MN (или перпендикуляр, см. ниже отдел VI) к кривой в точке С делит угол между FC и F′С пополам. Если поэтому мы представим себе светящуюся точку в фокусе F, то луч, идущий по FC, отразится от кривой в направлении CF′; таким образом, все лучи, выходящие из одного фокуса, сойдутся в другом фокусе; но в эллипсе, это схождение будет действительное, а в гиперболе - мнимое. В параболе же все лучи, выходящие из фокуса, отразившись от кривой, становятся параллельными оси. Параболические зеркала употребляются для превращения сходящихся лучей в параллельные и обратно.

Главное же значение конических сечений в прикладном знании заключается в том, что материальная точка, которая движется вследствие притяжения к неподвижному центру, действующего по закону Ньютона, совершает свое движение по одному из конических сечений. От величины и направления начальной скорости зависит, будет ли орбита эллипсом, гиперболой или параболой. Недаром говорили, что Кеплер не открыл бы законов движения небесных светил, если бы древние не разработали учения о конических сечениях.